Jälkikaronkka kokoontui jälleen Ylen Aamussa 27.8.2025. Juontajana tällä kertaa Totti Toivonen ja mulla tiedekavereina Mikael Niku sekä Jukka Häkkinen. Katso Areenasta.
Näytin lähetyksessä kaksi- ja kolmiulotteiset optimaaliset pakkaukset käyttäen magneetteja ja mandariineja (kuva). Alla myös pidempi selostus pallonpakkauksen historiasta ja uusista tuloksista tältä vuodelta.
Matemaatikot ovat pohtineet pallojen pakkaamista jo vuosisatojen ajan. Mistä siinä on kysymys? Kaksiulotteisessa tapauksessa voi ajatella vaikka kolikkojen järjestelemistä pöydällä. Silloin ne saa kaikkein tiiveimmin järjesteltyä hunajakennon tapaan niin, että lanttien keskipisteet muodostavat kuusikulmiomaisen kaakeloinnin. Yllä olevassa kuvassa näet esimerkin tästä järjestyksestä magneettinappien muodostelmana.
Kolmiulotteinen tapaus on hankalampi. Johannes Kepler laski 1600-luvulla, että latomalla pallot samaan tapaan kuin appelsiinit myyntipöydällä voidaan tila täyttää noin 74-prosenttisesti. Kysymys nousi silloin esiin parhaana mahdollisena tapana latoa tykinkuulia laivan kannelle.
Mutta onko Keplerin kasaus tiivein mahdollinen tapa? Vai saisiko ne soviteltua tarkemmin toistensa lomaan? Gauss näytti vuonna 1831, että säännölliseen rakenteeseen kasattuna Keplerin tapa on paras. Mutta voisiko joku epäsäännöllinen läjäystyyli kuitenkin olla tehokkaampi? Vastausta tähän saatiin odottaa aina vuoteen 1998. eli melkein 400 vuotta.
Ja vastaushan on että kyllä, Kepler tuli esittäneeksi tiiveimmän tavan; kuten todisti Thomas Hales vuonna 1998. Tämän linkin takana asian historiaa englanniksi.
Mutta mitenkäs pallojen tiivis kasailu korkeammissa ulottuvuuksissa? Tästähän voisi ajatella, että mitäs mokomaa pohtimaan. Mutta toisaalta se on hieno teoreettinen pulmapähkinä ja toisaalta saattaa johtaa vähempiin virheisiin digitaalisessa tiedonvälityksessä. Voimme nimittäin tulkita esimerkiksi digitaalisen viestin 01101111 pisteeksi 8-ulotteisessa avaruudessa. Jos joku ykkösistä tai nollista menee väärin, voimme laskea etäisyyden oikean ja virheellisen viestin välillä Pythagoraan kaavalla. Ja silloin itse asiassa käsittelemme kahdeksanulotteisia palloja!
Ukrainalainen matemaatikko Maryna Viazovska sai Fieldsin mitalin vuonna 2022 Helsingissä (kuva) ratkaistuaan tiiveimmän pallopakkauksen ulottuvuuksissa 8 ja 24. Niissä esiintyy aivan poikkeuksellisen symmetrisiä tapoja asetella palloja vierekkäin. Fields-mitali on “matematiikan Nobel-palkinto”.
Tällä videolla näkyy Marynan 8-ulotteisen ratkaisun takana oleva E8-symmetria:
Muissa ulottuvuuksissa kuin 2,3,8,24 emme tiedä, miten pallot saisi tehokkaimmin vierekkäin. Asiassa on kuitenkin tapahtunut aivan tuoretta edistystä tänä vuonna (Boaz Klartagin preprintti: https://arxiv.org/abs/2504.05042).
Klartagin idea on aluksi ripotella korkeaulotteisessa avaruudessa pisteitä jonkinlaiseen säännölliseen ruudukkoon, vastaavaan tapaan kuin kuusikulmioiden mehiläiskennosto tasossa. Sitten pisteiden ympärille laitetaan palloja. Klartagin idea on venytellä palloja ellipsoidin muotoisiksi satunnaisesti eri suuntiin kunnes ne törmäävät viereisiin pisteisiin. Näin systeemi löytää vähitellen mahdollisimman pitkänomaisen ellipsin, joka mahtuu muiden väliin. Ellipsin voi sitten kutistaa palloksi, jolloin pisteet liikkuvat toisiaan kohti ja vievät pallot tiukemmin lähelle toisiaan. Klartagin tempulla saadaan palloja edellistä tulosta moninkertaisemmin tungettua pieneen tilaan. Niin, että kymmenulotteisessa avaruudessa palloja mahtuu kymmenkertainen määrä. Ja miljoonaulotteisessa miljoonakertainen määrä. Iso edistysaskel!
