Mulla on työn alla tutkimusryhmän kanssa video, jossa esittelemme aaltoliikkeen matematiikkaa ja näytämme, miten kotikonstein saa rakennettua aiheeseen liittyvän havaintovälineen. Viikko sitten kokeilimme keksintöämme Harppi-festareilla Maunulan matikkalukiossa Heli Virtasen ja Markus Juvosen kanssa. Siellä tuli nuorisolta mahtavaa palautetta, kuten aina. Erityisen hyvä kysymys pamahti pöytään puolen tunnin aaltodemoilun jälkeen: missä se matikka oikein on? Ja tosiaan, olin itse niin keskittynyt löytämään teknistä ratkaisua aaltoyhtälön demoamiseen, että jäi se alkuperäinen matikka mainitsematta.
Tähän blogitekstiin kokoan ajatuksia siitä, miten letkeät aaltoliikkeet saisi kytkettyä matemaattisen aaltoyhtälön ominaisuuksiin. Perustemppu on seurata aaltokupujen etenemistä geometrisesti aika-avaruudessa. Periaatteessa sama juttu kuin Einsteinin suhteellisuusteoriassa, mutta simppelimmin.
Sysätään tarina käyntiin katsomalla aallon etenemistä Slinkydemossamme:
Tuossa olemme teipanneet kaksi Slinky-vieteriä peräkkäin ja ripustaneet ne siimojen avulla koholle lattiasta. (Erityiskiitokset taidokkaasta siima-asennuksesta kesätyöläisellemme Olavi Tapaniselle.) Lähetän terävällä kädenliikkeellä aaltokuvun vyörymään pitkin yksiulotteista rataansa. Jousi on toisessa päässä teipattu tiukasti kiinni, ja tämä ns. Dirichlet’n reunaehto heijastaa aallon peilikuvana tulemaan takaisin minua kohti. Selkeyden nimissä laitoin punaisen kolmion osoittamaan aallon sijainnin.
Seuraava askel on muuttaa jousen rakennetta. Yksinkertaisimmillaan se tarkoittaa lisäpainon laittamista johonkin kohtaan vieteriä. Keltainen nuoli osoittaa lisäpainon sijainnin seuraavalla videolla.
Punaisen kolmion merkkaama pääaalto etenee kuten aiemminkin, mutta lisäpainon kohdalta lähtee uusi, sinisellä kolmiolla koristeltu heijastunut aalto kohti vieterin alkupäätä. Aaltodemomme syvimpänä tarkoituksena on valaista inversiomatematiikan saloja. Tässä tapauksessa inversio eli takaisinlaskenta tarkoittaisi sitä, että meidän tulisi päätellä vieterin varrella esiintyvien lisäpainojen ja muiden poikkeavuuksien sijainnit ja tyypit tutkailemalla heijastuneita aaltoja.
Mainittakoon, että tällaisia inversio-ongelmia esiintyy käytännössä esimerkiksi ultraäänikuvantamisessa, kaikuluotauksessa, elektronimikroskopiassa, maatutkan käytössä, optisiin kaapeleihin perustuvissa rajavalvontatekniikoissa ja viemäriverkostojen akustisissa tarkastuksissa.
Nyt kun tuon fysikaalisen jousidemon perusidea on selvillä, pureudutaanpa siihen matikkapuoleen. Ensimmäinen temppu on siirtyä tarkastelemaan aaltojen kulkua aika-avaruuteen eli tässä tapauksessa tason koordinaatistoon, jossa vaaka-akseli on yksiulotteinen paikkakoordinaatti vieteriä pitkin metreinä ja pystyakseli puolestaan aika sekunteina. Näin syntyy geometrinen aika-avaruuskaavio pelkästä pääaallosta, joka liikkuu pitkin tasalaatuista vieteriä:
Oletamme näissä kaavioissa jousen pituudeksi kuusi metriä ja aallon nopeudeksi c = 4 m/s. Aalto lasketaan liikkeelle sijainnista nolla metriä. Siten pääaallolla kestää puolitoista sekuntia saavuttaa vieterin loppupää ja kaiken kaikkiaan 3 sekuntia tehdä edestakainen matka.
Entä jos jouseen laitetaan lisäpaino? Silloin syntyy heijastunut aalto ja sen myötä mutkikkaampi aika-avaruuskaavio.
Havaitsemme sinisen heijastuneen aallon lähetyspisteessä 1.85 sekunnin kuluttua pääaallon lähdöstä lukien. Ensimmäinen harjoitustehtävä on laskea lisäpainon sijainti. Näin se menee: olkoon lisäpaino tuntemattomassa kohdassa x. Aallolla kestää x/c sekuntia päästä painolle asti, ja heijastunut aalto saapuu havaitsijalle toisen mokoman kuluttua. Eli havainnointiaika on 1.85 = 2x/4. Tuosta ratkaisemalla saamme x = 3.7 metriä. Pari kysymystä kotitehtäväksi: milloin tuo toinen sininen heijastunut aalto saapuu havaitsijalle? Mitä tapahtuu, kun heijastunut aalto osuu lisäpainoon? Jos jatkaisimme havaintoja paljon pidempään, montako heijastusta saisimme kirjattua?
Entä jos lisäpainoja on kaksi?
Havaitsemme molemmat lisäpainot heijastuneista aalloista. Mutta – puuttuikos tuosta videosta jotakin? Eikös heijastuneidenkin aaltojen tulisi lähettää lisää aaltoja, kun ne törmäävät painoihin? No todellakin näin, ja ottamalla ne huomioon tulee tilanteesta mehukkaalla tavalla yhä monimutkaisempi. Tuo ylempi video näyttää ainoastaan ensimmäisen kertaluvun sironnan, mutta seuraavassa videossa on kolmas, neljäs ja viideskin kertaluku mukana.
Kotitehtävä: millä ajanhetkillä saapuvat 3 sekunnin jälkeen seuraavat neljä aaltoa havaitsijalle? Montako kertaa kukin noista aalloista on heijastunut matkallaan?
Kun tuo aika-avaruuskaavio on jo aikamoinen risukasa, miltäs se aalto vieterissä näyttääkään kahden lisäpainon tapauksessa? No tältä!
Projektia rahoittaa Tieteen tiedotus ry. Valmiit videot ilmestyvät Samun tiedekanavalla. Keväällä 2023 saatiin julki kolmen videon paketti varjokuvademosta; voit käydä tutustumassa niihin Samun tiedemysteerit -soittolistalla.
